Що таке теорема Вієта?

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.
Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.
Якщо \ x_1, x_2, \ldots, x_n — корені многочлена \ x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти \ a_1, \ldots, a_n виражаються в вигляді симетричних многочленів від коренів, а саме:
\begin{matrix} a_1 &=& -(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \\ a_2 &=& x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n \\ a_3 &=& -(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_{n}) \\ \cdots & & \cdots \\ a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (x_1 x_2 \ldots x_{n-1} + x_1 x_2 \ldots x_{n-2} x_n + \ldots + x_2 x_3...x_n) \\ a_n &=& (-1)^n x_1 x_2 \ldots x_n \end{matrix}.
Іншими словами \ (-1)^k a_k дорівнює сумі всіх можливих \ k-добутків із коренів.
Якщо старший коефіцієнт многочлена \ a_0 \ne 1, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на \ a_0.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.
Доведення використовує рівність
\ x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_n = (x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n).
Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після відкриття дужок, коефіцієнти при одинакових степенях x повинні бути одинаковими в обох частинах, з чого слідують формули Вієта.

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописи (Atom)